Nobel de Física 2016: ¿Qué Significa la Topología para la Ciencia? (Alexandra De Castro)

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La topología, que De Castro define como “abstracción pura”, tiene sin embargo aplicaciones muy concretas en la física, la genética y otras ramas de la ciencia.

Por Alexandra De Castro

La palabra clave del Nobel de Física, 2016, es “topología”. Lo primero que debemos concienciar es que la topología que los científicos usan para describir la naturaleza es una rama de las matemáticas, es abstracción pura. Su propósito principal es clasificar espacios, buscando propiedades con las que se puedan describir como un todo.

A través de la geometría podemos estudiar los espacios tan cerca como queramos, podemos decir cosas que se refieren a sólo a un punto y su entorno inmediato, a las formas de medir distancias, o a su suavidad en un pedacito, sin mirar al espacio completo. Muchas veces, en geometría se pueden observar propiedades que son válidas en la cercanía de un punto, pero que no lo son si observamos al espacio completo.

En topología no se requiere saber cómo medir distancias, ni se observan puntos y sus entornos. La idea de la topología es observar características de todo un espacio completo, que se preserven luego de deformarlo continuamente. Estirar, torcer, doblar, encoger, como si se tratara de un objeto de goma elástica no cambia la topología de un objeto, pero, por ejemplo, romper, rasgar, cortar y volver a pegar si lo hace. Por ejemplo: un círculo y cualquier elipse tienen propiedades geométricas distintas, pero son topológicamente la misma cosa. Algunos estudiosos de la historia de las matemáticas consideran a Leonhard Euler como el padre de la topología. En 1750, él diseñó una fórmula que utiliza el número de vértices, lados y caras de un poliedro y da lugar a un número que los clasifica. Esta propiedad se conoce como: la Característica de Euler.

Entonces, en este contexto, ¿qué podemos decir de los espacios geométricos utilizando topología? Aquí muestro algunos ejemplos sencillos.

Orientabilidad y número de agujeros: una esfera es orientable, es decir podemos decir que sabemos cual es su lado de adentro o de afuera y no tiene agujeros. Un bagel o toro, como se llama formalmente en matemáticas, es orientable y tiene un agujero.

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Esfera: orientable, no tiene agujeros.

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Toro: orientable, tiene un agujero.

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Una esfera, un elipsoide, un cubo y una arepa son topológicamente equivalentes.

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Una rosquilla es equivalente a un taza y a esta cartera con una sola asa.

Un cilindro es orientable, pero no tiene agujeros como espacio bidimensional, (considera solo la superficie). Una cinta de Möbius no tiene orientación definida.

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Izquierda: Superficie cilíndrica, sin las tapas. Derecha: Cinta de Möbius.

Si tengo un plano y lo comparo con un plano agujereado, puedo diferenciarlos sólo por la presencia de ese agujero. Por supuesto que estas observaciones no son propias solo de curvas, superficies o volúmenes, también ocurren en espacios tan abstractos que no se pueden dibujar.

Topología en la Naturaleza

¿Cómo surge la topología en la naturaleza? Usando las propiedades globales de los espacios, es posible entender procesos físicos, químicos y biológicos, en ocasiones procesos de la naturaleza que no se pueden explicar de otra manera. Voy a dar tres ejemplos que no tienen nada que ver con el Nobel pero que son de belleza comparable para que observen la amplitud de usos que puede tener.

Efecto Aharanov-Bohm

experimento_macroscopico_doble_rendijaCuánticamente, los electrones se comportan como partículas y como ondas. Esto es, es posible observar comportamientos en ellos que son propios de objetos duros y otros propios de las ondas. El comportamiento ondulatorio de los electrones primero fue predicho por Louis De Broglie en 1926 y luego medido por Davisson y Germer en 1937. El experimento de interferencia de electrones es similar al de la luz. En él, un haz de electrones, en vez de un haz de luz, pasa por dos rendijas muy pequeñitas, prácticamente imperceptibles al ojo humano y luego se observa el patrón que forma en una pantalla.

Ahora supongamos que se atraviesa un solenoide (un alambre enrollado en forma de cilindro) muy largo y muy delgado, entre las rendijas y la pantalla. Al paso de una corriente por el solenoide se produce un campo magnético que sólo pasa por dentro y que, en principio, los electrones que vienen de las rendijas no ven. Sin embargo, el patrón de interferencia cambia.

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Representación esquemática del efecto Aharanov-Bohm. El campo magnético es cero fuera del solenoide, pero el potencial vector, la cantidad matemática del cual se deriva el campo magnético, no es cero.

La manera de explicar este efecto es usando mecánica cuántica y topología, esto es, estudiando las propiedades globales de un espacio general que comprende tanto el plano por el que viajan los electrones como el espacio definido por el propio campo electromagnético. Ese espacio, desde el punto de vista matemático puro, tiene un hueco que no puede ser eliminado bajo transformaciones permitidas por la topología. El estudio cuántico de ese problema queda perfectamente explicado bajo estas consideraciones topológicas.

 

Topología en Genética

Contar el número de vueltas en una curva que se enrolla sobre sí misma, tal como lo haría una cuerdita, también atañe a la topología. Asimismo, se cuentan los nudos que se forman en líneas y que no se pueden desatar. Esto tiene aplicaciones en varias ramas de la ciencia. Por ejemplo, en Biología, en procesos que están relacionados con la estructura y función del ADN.

Las cadenas de ADN pueden estar presentes en forma lineal, enrolladas o formando nudos. Una molecula de ADN con nudos debe ser desanudada por las enzimas para el proceso de replicación y transcripción de información. Utilizando teoría de nudos se puede estimar qué tan difícil será para la enzima actuar sobre el ADN y qué forma debería tener para ser exitosa.

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ADN con nudos, visto por un microscopio electrónico. Crédito de la imagen: Universidad de Tennessee, EEUU.

Teoría de Cuerdas

La teoría de unificación a nivel subatómico, que incluye a la gravedad y que actualmente goza de mayor popularidad en el mundo académico es sin duda la teoría de cuerdas. La teoría de cuerdas es profundamente geométrica y hay diversos sectores de la formulación Abierta-Cerrada.001que usan topología. El objeto fundamental descriptor del microcosmos es una línea finita que puede estar abierta o cerrada, que se propaga por un espacio-tiempo de 10 dimensiones.

Olvidando el detalle de las dimensiones redundantes, pues nosotros solo vemos 4 (tres espaciales y el tiempo), la cuerda puede estudiarse en sí misma como una superficie barrida en el tiempo por la línea abierta o cerrada.

En este contexto, puede ocurrir que dos cuerdas abiertas o cerradas interactúen entre sí generando diferentes figuras.

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Luego, pueden llegar a separarse y volverse a juntar así:

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Y esto puede ocurrir muchas veces:

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Observar el número de agujeros o genus de las figuras que se van formando ayuda a entender propiedades de las interacciones entre las cuerdas.

El Nobel de Física 2016

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¿En qué consisten los estudios de David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane, J. Michael Kosterlitz para merecer el Nobel de 2016?

Esencialmente la importancia del premio Nobel consiste en haber sido capaces de describir fases o estados de la materia, y sus transiciones, que no habían podido ser descritos dentro de la física del estado sólido del momento.

Los laureados, se dieron cuenta que utilizando topología era posible estudiar estos fenómenos extraños. La observación la hicieron para efectos bidimensionales y unidimensionales, esto es que ocurren en una superficie o en capas tan finas que pueden estudiarse sin necesidad que incluir su ancho o en cadenas largas. Sus descubrimientos tienen aplicaciones en materiales como superconductores, superfluidos y magnetos.

Durante los años 70s, Thouless y Kosterlitz colaboraron en estudios sobre arreglos cristalinos bidimensionales en magnetos. En estos arreglos se  forman vórtices (especie de remolinos) a muy bajas temperaturas. Algunos vórtices son simples y otros forman pares que se mantienen juntos. Cuando la temperatura aumenta ocurre una repentina separación de los pares y la descripción de estos vórtices que antes formaban pares ahora debe hacerse como si fuesen individuales. Ellos interpretaron ese fenómeno como una transición de fase, cosa que derivó en un entendimiento completo de las así llamadas “transiciones topológicas de KT”. Algunos físicos las llaman transiciones BKT, reconociendo la labor del científico ruso Berezinskii, quien trabajó también en estos problemas1.

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Otro problema que David Thouless logró explicar con topología es el “Efecto Hall Cuántico”2, que aparece en algunos materiales sometidos a bajas temperaturas (< 2 Kelvin) y campos magnéticos muy fuertes (> 15 Tesla). Allí se observa que la conductividad sólo toma ciertos valores particulares, es decir: es una cantidad cuantizada. Thouless se dió cuenta que para describirlo había que usar un invariante topológico llamado “el número de Chern”3.

En 1988 Duncan Haldane4 usó las ideas de Thouless y predijo la existencia de fluidos topológicos que cumplen con un efecto similar al Efecto Hall Cuántico pero que no requieren de campos magnéticos fuertes. Los fluidos topológicos fueron medidos experimentalmente en el 20145.

Haldane también estudió unos sistemas unidimensionales o cadenas de electrones o átomos moviéndose en alambres muy delgados, cuyo comportamiento es muy diferente a las corrientes con alambres de radio grueso que no pueden ser representados con una línea. Haldane se dio cuenta que las cadenas con átomos podrían tener interrupciones o no dependiendo de su espín (una propiedad cuántica intrínseca de los átomos y sus componentes). Estos también son efectos topológicos pues una línea continua y una con interrupciones son topológicamente diferentes.

 


  1. Berezinskii murió en 1980 []
  2. Predicho por Ando, Matsumoto y Uemura en 1975 y medida experimentalmente por Klaus von Klitzing en 1980 []
  3. Qian Niu, D J Thouless, and Yong-Shi Wu. “Quantized hall conductance as a topological invariant“. Physical Review B, 31(6):3372, 1985 []
  4. F.D.M. Haldane. Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the “Parity Anomaly”. Physical Review Letters, 61(18):2015, 1988 []
  5. Cui-Zu Chang, Jinsong Zhang, Xiao Feng, Jie Shen, Zuocheng Zhang, Minghua Guo, Kang Li, Yunbo Ou, Pang Wei, Li-Li Wang, et al. Experimental observation of the quantum anomalous hall effect in a magnetic topological insulator. Science, 340(6129):167–170, 2013 [].

Alexandra De Castro tiene un doctorado en física teórica, es investigadora y comunicadora de la ciencia y la tecnología. Vive en La Haya, Holanda. Su blog sobre temas científicos es Browniana.


Imagen inicial: Primeros resultados de una búsqueda por “topology math” en Google Images.

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